ભૌમિતિક શ્રેણી $1, -a, a^{2}, -a^{3}, \ldots$ માં $n$ પદો સુધીનો સરવાળો શોધો (જો $a \neq -1$ હોય).

જો $a_1 = \frac{1}{8}$ અને $a_2 \neq a_1$ હોય તેવી ગુણોત્તર શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, \ldots$ નું દરેક પદ તેના પછીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક હોય અને $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ હોય,તો $S_{20} - S_{18}$ ની કિંમત શોધો.

વિધેયો $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ અને $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ માટે, જ્યાં $\alpha > \beta > 0$, ધારો કે $\min_{0 < \theta < \pi/2} f(\theta) = \max_{0 < \theta < \pi} g(\theta)$. જો એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $(\frac{\alpha}{2\beta})$ હોય, તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $(\frac{2\beta}{\alpha})$ હોય અને તેના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\gcd(m,n)=1$, તો $m+n$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$G.P.$ $\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \dots$ ના $20$ માં અને $n$ માં પદ શોધો.

જો $G.P.$ નું ત્રીજું પદ $4$ હોય,તો તેના પ્રથમ $5$ પદોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

જો $2$ અને $32$ ની વચ્ચે ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો મૂકવામાં આવે,તો ત્રીજો સમગુણોત્તર મધ્યક શું હશે?